Este artículo tiene como objetivo explicar, de manera simplificada, cómo se obtiene el espectro de diseño sísmico, partiendo de conceptos básicos relacionados con el peligro sísmico, como son: magnitud, intensidad, espectro de respuesta y espectro de peligro uniforme, y mostrando cómo se relacionan entre sí.
José Alberto Rodríguez Morales Ingeniero civil. Maestro en Ingeniería Estructural. Doctorando en el Instituto de Ingeniería.
Sonia E. Ruiz Gómez Doctora en Ingeniería. Investigadora titular C del II UNAM. Expresidenta de la SMIS. Miembro honorario de la SMIE y la SMIS.
Los primeros informes que emiten organismos como el Servicio Sismológico Nacional o el Servicio Geológico de Estados Unidos cuando ocurre un sismo se centran en la magnitud y la localización del lugar donde ocurrió el evento sísmico. Aunque la magnitud suele ser el dato más difundido por los medios de comunicación, desde el punto de vista de la ingeniería estructural este parámetro, por sí solo, da información limitada para estimar la demanda sísmica que experimentará una estructura.
La magnitud es una medida del tamaño del evento sísmico asociada a la energía liberada durante la ruptura de una falla geológica. Hoy en día, la magnitud de momento (Mw) es la escala de referencia a nivel internacional para caracterizar sismos, ya que permite estimaciones confiables en un amplio intervalo del tamaño del evento. Escalas históricas como la magnitud local (ML), conocida como escala de Richter, o la magnitud de ondas superficiales (Ms) continúan teniendo usos específicos, y han sido reemplazadas por la magnitud de momento en la mayoría de los estudios sismológicos y de ingeniería. Un incremento de una unidad en magnitud equivale aproximadamente a 32 veces más la energía sísmica liberada; sin embargo, esta característica no significa que un sismo de mayor magnitud vaya necesariamente a producir mayores daños a la infraestructura en un sitio particular, debido a que la respuesta sísmica, tanto del terreno como de las estructuras, depende de muchos otros factores.
Para el diseño sismorresistente es más pertinente caracterizar la intensidad del movimiento del terreno que el mero tamaño del evento. La intensidad se puede expresar mediante diversos parámetros de movimiento fuerte, por ejemplo: la aceleración máxima del terreno, la velocidad máxima o, de manera más representativa para el diseño estructural, la aceleración espectral. Estos parámetros dependen no sólo de la magnitud sino también de la distancia a la fuente sísmica, de las condiciones locales del suelo y el periodo de vibración de las estructuras, por lo que un mismo terremoto tiene una única magnitud pero genera diferentes intensidades sísmicas, en función del sitio de observación.
El espectro de respuesta, el espectro de peligro uniforme (EPU) y el espectro de diseño están estrechamente relacionados. El primero es de tipo determinista, pues se calcula a partir de un movimiento sísmico específico; los otros dos son probabilistas, ya que representan el peligro sísmico asociado a un periodo de recurrencia dado, y no a un evento particular.
Idealmente, con suficientes registros sísmicos de un sitio, para un periodo de retorno (TR) dado podría construirse directamente un espectro de diseño de sitio. Como esto muy rara vez es posible, se recurre a la teoría de probabilidades para obtener el EPU y, a partir de este, construir el espectro de diseño.
Espectro de respuesta
El espectro de respuesta es una representación gráfica que permite describir cómo responderían estructuras con diferentes propiedades dinámicas cuando se someten al mismo movimiento sísmico. En lugar de analizar el comportamiento de una estructura específica, el espectro resume la respuesta máxima que experimentarían una gran cantidad de sistemas simples, con distintos periodos naturales de vibración y cierto porcentaje de amortiguamiento crítico.
Para comprender este concepto, imaginemos un conjunto de osciladores de un grado de libertad, todos con la misma masa y el mismo amortiguamiento, pero con diferentes rigideces. Debido a que el periodo natural depende de la rigidez y de la masa, cada oscilador tendrá un periodo de vibración distinto. Si todos ellos se someten simultáneamente al mismo registro acelerográfico, cada uno responderá de manera diferente: algunos experimentarán desplazamientos pequeños, mientras que otros alcanzarán aceleraciones o deformaciones mucho mayores.
Para cada oscilador se considera únicamente el valor máximo de la respuesta durante todo el movimiento sísmico. Si este procedimiento se repite para una amplia gama de periodos naturales de vibración del oscilador, se obtiene una curva que relaciona el periodo de vibración con la respuesta máxima del sistema estructural. Esa curva es el espectro de respuesta. La figura 1 ilustra cómo se construye un espectro de respuesta.
La diferencia en la respuesta de los osciladores se debe a que un movimiento sísmico no está constituido por una única frecuencia de vibración, sino por la superposición de múltiples frecuencias con distintas amplitudes. Este conjunto de frecuencias se conoce como el contenido de frecuencias del movimiento sísmico, y depende de factores como el mecanismo de ruptura, la propagación de las ondas sísmicas y las condiciones locales del terreno. Cuando una de las frecuencias dominantes del movimiento es cercana a la frecuencia natural de un sistema estructural, se produce un fenómeno similar a la “resonancia”, la que hace que se incremente significativamente la respuesta del sistema. En cambio, si las frecuencias son muy diferentes, la respuesta tiende a ser menor. Por ello, el espectro de respuesta permite identificar qué sistemas con ciertos periodos naturales de vibrar son más susceptibles de experimentar mayores demandas durante un determinado movimiento sísmico.
Espectro de peligro uniforme (EPU)
El EPU es la base para construir el espectro de diseño. A diferencia del espectro de respuesta, que depende de un solo sismo, el EPU considera todos los sismos posibles que pueden afectar a la estructura, así como sus probabilidades de ocurrencia en un tiempo dado. Para obtener el EPU es necesario calcular la tasa media anual de excedencia (TMAE) de intensidades sísmicas, lo cual requiere caracterizar las fuentes sísmicas, aplicar funciones de atenuación y considerar los efectos de sitio.
Caracterización de la fuente sísmica
Una fuente sísmica es una zona de la corteza terrestre donde ocurren sismos con características similares, debido a la actividad de una o varias fallas geológicas. Caracterizarla adecuadamente requiere, por un lado, su ubicación y mecanismo de falla: dónde se encuentra, qué geometría tiene y qué tipo de falla la origina, lo cual determina cómo se libera la energía sísmica; y, por otro lado, su TMAE de magnitudes, es decir, qué tan seguido ocurre un sismo de cierta magnitud o mayor. Para calcular dicha tasa, se usan catálogos sísmicos históricos y modelos estadísticos —como la relación de Gutenberg-Richter—, que reflejan un patrón conocido: entre más grande es un evento sísmico, es menos frecuente.
Funciones de atenuación
La magnitud sísmica tiene poca relevancia directa en el diseño sismorresistente; lo que realmente importa es la intensidad sísmica que se espera en el sitio de interés. Para obtener esta última es necesario recurrir a las funciones de atenuación sísmica, también conocidas como relaciones de predicción de movimiento, que son modelos empíricos útiles para estimar la intensidad sísmica para un sitio específico. Estas funciones se desarrollan a partir de un extenso conjunto de registros acelerográficos, mediante técnicas estadísticas —principalmente regresión— que identifican las variables que mejor explican la variabilidad observada, como en la magnitud, la distancia a la fuente y el tipo de mecanismo focal. En términos simples, permiten estimar la intensidad sísmica esperada a partir de dichas variables. Actualmente existen numerosos modelos de este tipo, desarrollados para distintas regiones y condiciones tectónicas, que suelen reportar, junto con la predicción central, la incertidumbre asociada, reflejando la variabilidad natural del fenómeno sísmico.
El peligro sísmico
La TMAE de intensidades sísmicas es una función que caracteriza el peligro sísmico de un sitio en particular, y corresponde al inverso de TR, asociado a una intensidad sísmica dada. En otras palabras, dicha tasa representa la frecuencia esperada, en un año, con la que un parámetro de intensidad sísmica —por ejemplo, la aceleración espectral o la aceleración máxima del terreno— iguala o supera un valor específico. Cada fuente sismogénica que afecta al sitio se modela de forma independiente, y sus contribuciones se combinan para estimar la probabilidad de que la intensidad sísmica sea excedida en un año en el sitio de interés.
Efectos de sitio
El sentido común indica que, a mayor distancia de la fuente sísmica, menor es la intensidad del movimiento experimentado. Esto es cierto siempre y cuando el sitio de observación se encuentre en terreno firme; sin embargo, cuando las ondas sísmicas se propagan desde la fuente hacia la superficie del terreno, atraviesan materiales con distintas rigideces, densidades y velocidades de propagación. Estos cambios producen fenómenos de reflexión, refracción e interferencia de las ondas, que modifican tanto su amplitud como su contenido de frecuencias. Como consecuencia, el movimiento registrado en la superficie de un terreno blando puede diferir considerablemente del que llega al terreno firme que lo circunda o que lo soporta. En términos generales, los suelos blandos tienden a amplificar las componentes de baja frecuencia del movimiento sísmico y a prolongar su duración, mientras que los suelos firmes o los afloramientos rocosos presentan menores amplificaciones. Esta diferencia explica, en parte, por qué un mismo sismo puede producir daños estructurales muy distintos en zonas cercanas entre sí, cuando estas presentan condiciones geológicas diferentes.
Obtención del EPU
Debido a la naturaleza de la amenaza sísmica, el enfoque que comúnmente se emplea en la construcción de un EPU es de carácter probabilista; para ello, es necesario obtener la TMAE, λ (y), dada por la siguiente ecuación (Esteva, 1968; Cornell, 1968):
λ(y) = λ0 P [Y > y|m, r] fM (m) fR (r) dr dm
El presente trabajo no tiene como objetivo demostrar ni resolver esta ecuación; sin embargo, en ella se pueden identificar los elementos básicos que se mencionaron arriba, con excepción de los efectos de sitio, los cuales se abordan más adelante. Cabe mencionar que en la bibliografía existen formulaciones que consideran conceptos adicionales; sin embargo, para los fines del presente artículo de divulgación se consideró suficiente explicar, de manera general, los elementos contenidos en ella.
El término P[Y >y|m, r] representa la probabilidad de que una intensidad sísmica Y exceda un valor y, dada una magnitud m y una distancia r; este término se obtiene a partir de las funciones de atenuación. El término fM (m) es la función de densidad de probabilidad (fdp) de la magnitud, la cual se calcula a partir de la TMAE de magnitudes, y fR (r) es la fdp de la distancia a la fuente sísmica. La fdp describe cómo se distribuye la probabilidad de una variable aleatoria a lo largo de su intervalo de valores. La tasa mínima de ocurrencia se denota como λ0; m0 y mi y son las magnitudes mínima y máxima de la fuente sísmica, respectivamente; y r0 y ri representan las distancias mínima y máxima, respectivamente, del sitio de interés a la fuente sísmica.
Es común que el peligro sísmico se calcule primero para condiciones de terreno firme, y que posteriormente se traslade a un sitio cuya condición geotécnica pueda generar efectos de sitio, aunque también existen funciones de atenuación modificadas que consideran directamente dichos efectos. Un caso muy conocido es el de los efectos de sitio que ocurren en la Ciudad de México, debido a la zona lacustre sobre la que se desplanta gran parte de la ciudad. En este caso particular se emplea algún sitio en terreno firme como sitio de referencia, por ejemplo Ciudad Universitaria, cuya estación de monitoreo sísmico cuenta con muchos años de observación. A partir de los registros del movimiento del terreno de varios eventos sísmicos, tanto en suelo firme como en suelo blando, es posible trasladar la TMAE de terreno firme a la de blando. Esto también puede lograrse mediante funciones de transferencia obtenidas a partir de la caracterización del subsuelo, derivada de estudios de exploración geotécnica.
Una vez calculada la TMAE de un sitio para diferentes periodos estructurales, es posible obtener el EPU. A diferencia del espectro de respuesta, que se obtiene a partir de un único registro del movimiento del suelo, el EPU se construye considerando todos los sismos que pueden afectar a un sitio, junto con sus probabilidades de ocurrencia en un tiempo dado. Su objetivo es representar la demanda sísmica asociada a un nivel de peligro previamente establecido. Se denomina “espectro de peligro uniforme” porque todos los puntos del espectro corresponden a la misma probabilidad anual de ser excedida. Para construir un EPU es necesario fijar un nivel de peligro (ya sea en términos de la TMAE o de TR). La figura 2 ilustra la manera en que se construye un EPU.
Además, con base en el EPU es posible obtener movimientos sísmicos simulados, los cuales pueden utilizarse para verificar el comportamiento de las estructuras.
Espectro de diseño
Una vez obtenido el EPU, se define una envolvente que se adopta como espectro de diseño, el cual proporciona una representación conservadora de la demanda sísmica. En la figura 3 se presenta, como ejemplo, un espectro de diseño (línea continua) y el correspondiente EPU (línea punteada) asociado a cierto TR .
Diseño óptimo
Ahora bien, la pregunta es: ¿para qué periodo de retorno esperado se debe diseñar una edificación? La respuesta es: para el periodo óptimo, entendiendo por “óptimo” aquel que equilibra el costo inicial de construcción con los costos futuros que ocurran por daños en la edificación.
Si una estructura se diseña considerando un periodo de retorno corto, la demanda sísmica será baja y, como consecuencia, el costo de construcción también lo será; sin embargo, durante su vida útil experimentará intensidades sísmicas que probablemente le causarán daño y, por lo tanto, deberá ser rehabilitada o reconstruida, lo cual podría implicar un costo importante. Si, por el contrario, se diseña considerando un periodo de retorno elevado, las pérdidas por daños serán menores debido a que la estructura tendrá mayor resistencia o rigidez; sin embargo, esto normalmente se traduce en una mayor inversión inicial. De hecho, si el periodo de retorno es demasiado elevado, la construcción podría resultar inviable.
El balance entre costo inicial y costo esperado por daños es lo que se calibra durante el proceso de elaboración de los lineamientos de diseño sísmico, de manera que el periodo de retorno mínimo especificado en los códigos de diseño no es un valor arbitrario, sino el resultado de dicha calibración.
Comentarios finales
Los temas que aquí se mencionan han sido tratados en la bibliografía con gran profundidad y amplitud. El presente artículo de divulgación tiene por objetivo dar a personas no especialistas en el tema una idea general de los conceptos fundamentales del peligro sísmico y mostrar las diferencias que hay entre los tres tipos de espectros comúnmente utilizados en ingeniería sísmica
Referencias
Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America 58(5): 1583-1606.
Esteva, L. (1968). Bases para la formulación de decisiones de diseño sísmico. Tesis doctoral. Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México.
